Question

3．點(diǎn)M（20，40），拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，若對于拋物線上的任意點(diǎn)P，|PM|+|PF|的最小值為41，則p的值等于42或22．

Answer 1

分析 過P做拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則|PF|=|PD|，當(dāng)M（20，40）位于拋物線內(nèi)，當(dāng)M，P，D共線時(shí)，|PM|+|PF|的距離最小，20+$\frac{p}{2}$=41，解得：p=42，當(dāng)M（20，40）位于拋物線外，由勾股定理可知：$\sqrt{4{0}^{2}+（20-\frac{p}{2}）^{2}}$=41，p=22或58，當(dāng)p=58時(shí)，y²=116x，則點(diǎn)M（20，40）在拋物線內(nèi)，舍去，即可求得p的值．

解答 解：由拋物線的定義可知：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離=到準(zhǔn)線的距離，
過P做拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則|PF|=|PD|，
當(dāng)M（20，40）位于拋物線內(nèi)，
∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，
當(dāng)M，P，D共線時(shí)，|PM|+|PF|的距離最小，
由最小值為41，即20+$\frac{p}{2}$=41，解得：p=42，
當(dāng)M（20，40）位于拋物線外，
當(dāng)P，M，F(xiàn)共線時(shí)，|PM|+|PF|取最小值，
即$\sqrt{4{0}^{2}+（20-\frac{p}{2}）^{2}}$=41，解得：p=22或58，
由當(dāng)p=58時(shí)，y²=116x，則點(diǎn)M（20，40）在拋物線內(nèi)，舍去，
故答案為：42或22．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．