Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

6

）-2sin²

ω

2

x+1（ω＞0），直線y=-

3

與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π．
（1）求ω的值．
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點（B，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，且b=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），根據(jù)函數(shù)的最小正周期為

2π

ω

=π，求得ω的值．
（2）在△ABC中，由f（B）=

3

sin（2B+

π

3

）=0，求得B，可得cosB的值，再利用余弦定理、基本不等式求得ac的最大值，可得△ABC面積

1

2

ac•sinB的最大值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

6

）-2sin²

ω

2

x+1（ω＞0）=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

+cosωx
=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx=

3

sin（ωx+

π

3

），
∵函數(shù)的最大值為

3

，最小值為-

3

，直線y=-

3

與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π，可得函數(shù)的最小正周期為

2π

ω

=π，求得ω=2．
（2）由于f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），故有f（B）=

3

sin（2B+

π

3

）=0，∴B=

π

3

，或B=

5π

6

．
若B=

π

3

，則cosB=

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

，化簡可得ac=a²+c²-9≥2ac-9，∴ac≤9，
故△ABC面積

1

2

ac•sinB的最大值為

1

2

×9×

3

2

=

9 3

4

．
若B=

5π

6

，則cosB=-

3

2

=

a2+c2-b2

2ac

，化簡可得-

3

ac=a²+c²-9≥2ac-9，∴ac≤9（2-

3

），
故△ABC面積

1

2

ac•sinB的最大值為

1

2

×9×（2-

3

）×

1

2

=

9(2- 3 )

4

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．