Question

求函數(shù)f（x）=x³-3x²-a的極值，并且討論當(dāng)a為何值時函數(shù)f（x）恰好有一個零點，兩個零點，三個零點．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進而得到極值，再作出直線y=a和y=x³-3x²，通過觀察直線和曲線分別有1個交點、2個交點和3個交點的情況即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³-3x²-a的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，解得，x＞2或x＜0，f（x）遞增；
由f′（x）＜0，解得，0＜x＜2，f（x）遞減．
則有f（x）在x=0處取得極大值，且為-a，
f（x）在x=2處取得極小值，且為-4-a．
令f（x）=0，即有a=x³-3x²，
作出直線y=a和y=x³-3x²，
由于y=x³-3x²在（2，+∞），（-∞，0）內(nèi)遞增，在（0，2）內(nèi)遞減，
則y=x³-3x²在x=0處取得極大值，且為0，
在x=2處取得極小值，且為-4．
通過圖象觀察，可得，當(dāng)a＞0或a＜-4時，有1個交點，即f（x）有1個零點；
當(dāng)a=0或-4，有2個交點，即f（x）有2個零點；
當(dāng)-4＜a＜0，有3個交點，即f（x）有3個零點．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查函數(shù)的零點的求法，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．