Question

1．在圓x²+y²=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)段PD，D為垂足，線(xiàn)段PD中點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M到直線(xiàn)l：x-y+1=0距離最大值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}-\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由M為線(xiàn)段PD的中點(diǎn)得到P的坐標(biāo)，把P的坐標(biāo)代入圓x²+y²=4求得線(xiàn)段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程；
再利用參數(shù)法求出點(diǎn)M到直線(xiàn)l：x-y+1=0距離最大值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題意D（x，0），P（x，y₁），
∵M(jìn)為線(xiàn)段PD的中點(diǎn)，∴y₁+0=2y，y₁=2y；
又∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴x₁²+y₁²=4，
∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓，
設(shè)x=2cosθ，y=sinθ，
則點(diǎn)M到直線(xiàn)l：x-y+1=0的距離為
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，其中tanα=-2；
所以d的最大值為$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程以及點(diǎn)到直線(xiàn)距離的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．