Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x-1，
當(dāng)x＞1或x＜-

1

3

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-

1

3

＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（1）為極小值，f（-

1

3

）為極大值．
∵f（x）在（-∞，-

1

3

）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
∴當(dāng)f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0時(shí)，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．
即a+

5

27

＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）
故答案為：（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．