Question

由曲線y=x²和直線x=0，x=1，y=t²，t∈（0，1）所圍成的圖形（陰影部分）的面積的最小值為（　　）

A． 2 3

B． 1 3

C． 1 2

D． 1 4

Answer 1

由題意及圖象，曲線y=x²和直線y=t²交點坐標(biāo)是（t，t²）
故陰影部分的面積是∫₀^t（t²-x²）d_x+∫_t¹（-t²+x²）d_x=（t²x-

1

3

x³）|₀^t+（-t²x+

1

3

x³）|_t¹=

4

3

t3-t2+

1

3

令p=

4

3

t3-t2+

1

3

，則p′=4t²-2t=2t（2t-1），知p=

4

3

t3-t2+

1

3

在（0，1）先減后增，在t=

1

2

時取到最小值，
故面積的最小值是

4

3

×(

1

2

)3-(

1

2

)2+

1

3

=

1

4

故選D