Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若sin²A=3sinBsinC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）函數(shù)可化簡為f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）-

1

2

．從而可求其最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（2）由已知和余弦定理可得cosA≥-

1

2

，故可得-

π

3

＜2A-

π

3

≤π，從而可求f（A）的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-2cos²x
=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x-

1

2

=

( 3 2 )2+(- 3 2 )2

sin（2x+φ）-

1

2

．（其中tanφ=

- 3 2

3 2

=-

3

．故φ=-

π

3

）
=

3

sin（2x-

π

3

）-

1

2

．
故最小正周期T=

2π

2

=π．
故由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z得函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z．
（2）因為sin²A=3sinBsinC，由正弦定理得a²=3bc，
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

≥

2bc-3bc

2bc

=-

1

2

．
因為0＜A＜π，所以可得0＜A≤

2π

3

，故-

π

3

＜2A-

π

3

≤π，
故f（A）_max=

3

-

1

2

；f（A）_min=-

3

-

1

2

．
即有f（A）的取值范圍為[-

3

-

1

2

，

3

-

1

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于中檔題．