Question

已知n∈N^*，(2x-

1

x

)n=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a_1-nx^1-n+a_-nx^-n展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a_n+a_n-2+…+a_2-n+a_-n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）利用二項(xiàng)式定理可寫出(2x-

1

x

)n展開式的通項(xiàng)T_r+1=

C

r n

（2x）^n-r（-x^-1）^r=（-1）^r•2^n-r

C

r n

•x^n-2r，由常數(shù)項(xiàng)為-160可求得r=3，從而可得n=2r=6．
（Ⅱ）分別對(duì)x賦值1與-1，再將得到的兩式相加即可求得a_n+a_n-2+…+a_2-n+a_-n的值．

解答： 解：（Ⅰ）通項(xiàng)為T_r+1=

C

r n

（2x）^n-r（-x^-1）^r=（-1）^r•2^n-r

C

r n

•x^n-2r，…（2分）
由條件可知n=2r，故（-1）^r2^r

C

r 2r

=-160，…（4分）
解得r=3，從而n=6．…（6分）
（Ⅱ）取x=1，有a₆+a₅+a₄+…+a_-4+a_-5+a_-6=1，…（8分）
取x=-1，有a₆-a₅+a₄+…+a_-4+-a_-5+a_-6=1，…（10分）
以上兩式相加有：a₆+a₄+…+a_-4+a_-6=1． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，著重考查其展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，求得n=6是關(guān)鍵，考查賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題．