Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，PA⊥PD，E、F分別為PC、BD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PDC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（I）連接AC，利用三角形中位線的性質，證明EF∥PA，利用線面平行的判定，可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）先證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再證明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，從而可得平面PAB⊥平面PCD．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AC，則F是AC的中點，
在△CPA中，∵E為PC的中點，
∴EF∥PA，
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA
又∵PA⊥PD，CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD，
又PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD．

點評：本題考查線面平行的判定，考查面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．