Question

直線與橢圓交于，兩點，已知，，若且橢圓的離心率，又橢圓經過點，為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值；
（Ⅲ）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）三角形的面積為定值。證明見解析

(I)由e和橢圓過點可得到關于a,b的兩個方程，從而解出a,b值求出橢圓的方程.
(II) 設的方程為，由已知得：
=0，
然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立消y后得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理建立關于k的方程求出k值.
(III)要討論AB斜率存在與不存在兩種情況.研究當AB斜率存在時，由已知，得,又在橢圓上，所以,從而證明出為定值.
解：（Ⅰ）∵  ……2分
∴   
∴橢圓的方程為……………3分
（Ⅱ）依題意，設的方程為
由
顯然
      ………………5分
由已知得：
 
 
解得            ……………………6分
（Ⅲ）①當直線斜率不存在時，即，
由已知，得
又在橢圓上，
所以
 ,三角形的面積為定值．………7分
②當直線斜率存在時：設的方程為

必須 即
得到，        ………………9分
∵，∴
代入整理得：              …………………10分
   …………11分
    所以三角形的面積為定值． ……12分