Question

已知x、y滿足關(guān)系x=

1-y2

，則

y-2

x-2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：

分析：借助已知?jiǎng)狱c(diǎn)在半圓上任意動(dòng)，而所求式子形式可以聯(lián)想成在半圓上動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)N（2，2）連線的斜率，求得過點(diǎn)N的切線的斜率，數(shù)形結(jié)合進(jìn)而求解．

解答： 解：由 x，y滿足x=

1-y2

，
可得 x²+y²=1，x≥0
故滿足條件的點(diǎn)（x，y）在半圓：x²+y²=1 （x≥0）是如圖所示的半圓面：
而

y-2

x-2

表示半圓上的點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn) N（2，2）
連線的斜率k，
顯然k存在．
設(shè)半圓的切線方程為 y-2=k（x-2），即 kx-y+2-2k=0，
則由圓心O（0，0）到切線的距離等于半徑可得

|2-2k|

1+k2

=r=1，
求得 k=

4± 7

3

，k=

4- 7

3

舍去．k=

2-1

2

=

1

2

數(shù)形結(jié)合可得k的范圍為[

1

2

，

4+ 7

3

]，
故答案為：[

1

2

，

4+ 7

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了斜率公式，及直線與圓的相切與相交的關(guān)系，還考查了利用幾何思想解決代數(shù)式子的等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．