Question

已知函數為常數)是實數集上的奇函數，函數在區(qū)間上是減函數．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實數的最大值；

（Ⅲ）若關于的方程有且只有一個實數根，求的值．

Answer 1

解析：（Ⅰ）是實數集上奇函數，

，即   

將帶入，顯然為奇函數．         

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

要使是區(qū)間上的減函數，則有在恒成立，，所以．           

要使在上恒成立，

只需在時恒成立即可．

    (其中)恒成立即可． 

令，則即

，所以實數的最大值為.

     （Ⅲ）由（Ⅰ）知方程，即，

令

當時，在上為增函數；

當時，在上為減函數；

當時，．     

而

當時是減函數，當時，是增函數，

     當時，．

只有當，即時，方程有且只有一個實數根．