Question

【題目】如圖，在高為的等腰梯形中，，且，，將它沿對(duì)稱軸折起，使平面平面，如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上(不同于，兩點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使.

(1)證明：平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，把證明平面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，即可；（2）求出平面的法向量為和平面的一個(gè)法向量為，把求二面角的余弦值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與的夾角的余弦值的問(wèn)題即可.

(1)證明：由題設(shè)知，，兩兩垂直，所以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長(zhǎng)為，

則，，，

，，).

因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，

所以，，.

因?yàn)?/span>，，

所以，，又與不共線，

所以平面.

(2)解　因?yàn)?/span>，，所以，

則，所以，.

設(shè)平面的法向量為，

由得

令，則，，.

易得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，

則，

即二面角的余弦值為.