【題目】如圖,在高為的等腰梯形中,,且,,將它沿對稱軸折起,使平面平面,如圖,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上(不同于,兩點(diǎn)),連接并延長至點(diǎn),使.
(1)證明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)建立空間直角坐標(biāo)系,把證明平面的問題轉(zhuǎn)化為證明,即可;(2)求出平面的法向量為和平面的一個(gè)法向量為,把求二面角的余弦值的問題轉(zhuǎn)化為求與的夾角的余弦值的問題即可.
(1)證明:由題設(shè)知,,兩兩垂直,所以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)的長為,
則,,,
,,).
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),所以,
所以,,.
因?yàn)?/span>,,
所以,,又與不共線,
所以平面.
(2)解 因?yàn)?/span>,,所以,
則,所以,.
設(shè)平面的法向量為,
由得
令,則,,.
易得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)二面角的大小為,由圖可知,為銳角,
則,
即二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某避暑山莊擬對一個(gè)半徑為1百米的圓形地塊(如圖)進(jìn)行改造,擬在該地塊上修建一個(gè)等腰梯形,其中,,圓心在梯形內(nèi)部,設(shè).當(dāng)該游泳池的面積與周長之比最大時(shí)為“最佳游泳池”.
(1)求梯形游泳池的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指明定義域;
(2)求當(dāng)該游泳池為“最佳游泳池”時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:.(為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的長軸長為4,左、右頂點(diǎn)分別為,經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)(不與點(diǎn)重合).
(Ⅰ)當(dāng),且直線 軸時(shí), 求四邊形的面積;
(Ⅱ)設(shè),直線與直線相交于點(diǎn),求證:三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,為左焦點(diǎn),為上頂點(diǎn),為右頂點(diǎn),若,拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在過點(diǎn)的直線,與和交點(diǎn)分別是和,使得?如果存在,求出直線的方程;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,,為線段的中點(diǎn),為線段上的一點(diǎn).
(1)證明:平面平面.
(2)若,二面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線L: y=x+m與拋物線y2=8x交于A、B兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),
(1)若直線L過拋物線焦點(diǎn),求線段 |AB|的長度;
(2)若OA⊥OB ,求m的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個(gè)結(jié)論
①AC⊥BD;
②△ACD是等邊三角形;
③AB與平面BCD成60°的角;
④AB與CD所成的角是60°.
其中正確結(jié)論的序號是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家具廠有方木料90,五合板600,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)第張書桌需要方木料O.l,五合板2,生產(chǎn)每個(gè)書櫥而要方木料0.2,五合板1,出售一張方桌可獲利潤80元,出售一個(gè)書櫥可獲利潤120元.
(1)如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤多少?
(2)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大?
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