Question

已知x=a₁是函數f（x）=

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x⁴+bx²+cx+d的唯一極值點且為最小值點，若存在a₂∈（a₁，a₁+1）使得f′（a₂）=0，則關于x的函數g（x）=f（x）-

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x²+a₁x在（a₁，a₂）上的零點的說法正確的是（　�。�

• A、至多只有一個零點
• B、只有唯一的零點
• C、可能存在兩個零點
• D、可能存在四個零點

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數零點的判定定理

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由題意求導f′(x)=x3+2bx+c=(x-a1)(x-a2)2，從而再求導g′(x)=f′(x)-x+a1=(x-a1)(x-a2)2-(x-a1)=(x-a1)[(x-a2)2-1]，從而由函數的零點判定定理確定零點的個數．

解答： 解：由題意得，
f′(x)=x3+2bx+c=(x-a1)(x-a2)2，
∴g′(x)=f′(x)-x+a1=(x-a1)(x-a2)2-(x-a1)=(x-a1)[(x-a2)2-1]，
設a₁＜x＜a₂，
∵a₁＜a₂＜a₁+1，
∴x-a₁＞0，x-a₁-1＜x-a₂
∵x-a₁-1＞-1，x-a₂＜0，
∴-1＜x-a₂＜0，得(x-a2)2＜1；
∴g′(x)=(x-a1)[(x-a2)2-1]＜0，
即函數g（x）在（a₁，a₂）上是減函數；
∴g（x）在（a₁，a₂）至多只有一個零點．
故選A．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的性質的應用，屬于基礎題．