Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-x+alnx，其中a≠0．
（1）a=-6，求函數(shù)f（x）在[1，4]上的最值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)n∈N^*時，e n(n2-1)≥（n!）³．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f（x）在[1，4]上的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在[1，4]上的最值；
（2）函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，f′（x）=

2x2-x+a

x

=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，可得2x²-x+a=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求出f（x）_min=f（1）=0，可得k²-k≥lnk，即（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）≥lnn!，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：a=-6，f（x）=x²-x+alnx，
∴f′（x）=

(2x+3)(x-2)

x

，x＞0
∴x∈[1，2]，f′（x）≤0，x∈[2，4]，f′（x）≥0，
∴f（x）_min=f（2）=2-6ln2，f（x）_max=max{f（1），f（4）}，
∵f（1）=0，f（4）=12-12ln2＞0，
∴f（x）_max=12-12ln2；
（2）解：∵函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，
∴f′（x）=

2x2-x+a

x

=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，
∴2x²-x+a=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，
令g（x）=2x²-x+a，則

△=1-8a＞0 g(0)=a＞0

，解得0＜a＜

1

8

，
（3）證明：a=-1時，f（x）=x²-x-lnx，
∴f′（x）=

(2x+1)(x-1)

x

≥0恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=0，
∴x²-x≥lnx（x=1時取等號），
則k²-k≥lnk，
∴（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）≥lnn!，
∴

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

≥lnn!，
∴

n(n2-1)

3

）≥lnn!，
∴e n(n2-1)≥（n!）³．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值與最值，考查不等式的證明，難度中等．