如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中點(diǎn)O，底面ABC是正三角形，其重心為G點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)，B1D交BC1于E．
（1）求證：GE∥側(cè)面AA1B1B；
（2）若AA1=AB，求直線BC1與底面ABC所成角．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題：空間角
分析：（1）由已知得
DE
EB1
=
BD
B1C1
=
1
2
，
DE
EB1
=
DG
GA
=
1
2
，從而GE∥AB1，由此能證明GE∥側(cè)面AA1B1B．
（2）令A(yù)A1=AB=2，A1在底面ABC上的射影為AB中心O，連OD延長(zhǎng)到H，使OD=DH，連C1H，BH，由A1C1
∥
.
OH，得A1O
∥
.
C1H，∠C1BH是直線BC1與底面ABC所成角，由此能求出直線BC1與底面ABC所成角．
解答： （1）證明：∵斜三棱柱ABC-A1B1C1中，
點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中點(diǎn)O，
底面ABC是正三角形，其重心為G點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)，B1D交BC1于E，
∴
DE
EB1
=
BD
B1C1
=
1
2
，
連結(jié)AB1，則
DE
EB1
=
DG
GA
=
1
2
，
∴GE∥AB1，
∵GE不包含于側(cè)面AA1B1B，AB1?側(cè)面AA1B1B，
∴GE∥側(cè)面AA1B1B．
（2）解：令A(yù)A1=AB=2，A1在底面ABC上的射影為AB中心O，
連OD延長(zhǎng)到H，使OD=DH，連C1H，BH，
則由A1C1
∥
.
OH，得A1O
∥
.
C1H，
∠C1BH是直線BC1與底面ABC所成角
∴C1H=
3
，BH=OC=
3
，
∴tan∠C1HB=1，∴∠C1BH=
π
4
，
∴直線BC1與底面ABC所成角為
π
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與底面所成的角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分．用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字．求：
（Ⅰ）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的分布列和均值；
（Ⅲ）計(jì)分介于20分到40分之間的概率．

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設(shè)函數(shù)f（x）=x2-x+alnx，其中a≠0．
（1）a=-6，求函數(shù)f（x）在[1，4]上的最值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，e n(n2-1)≥（n!）3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax，a＞0，a∈R．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l平行于x軸，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的區(qū)間[0，1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），且f（x）=
a
•
b
，
（1）求f（x）在x∈[-
π
3
，
π
3
]的最大值；
（2）若f（x）=1-
3
，x∈[-
π
3
，
π
3
]，求x；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得出？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=a（a≠3，a∈R），an+1=Sn+3n，n∈N*
（Ⅰ）設(shè)bn=Sn-3n ，n∈N*，求{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若an+1≥a，n∈N*，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+
1
x
，g（x）=x2+x-b，y=f（x）圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，且P點(diǎn)既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象上．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)h（x）=
f(x)
g(x)
，求證：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

袋中有一元人民幣兩枚，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸一枚硬幣．
（1）試問(wèn)，一共有多少種不同的結(jié)果，列出所有可能的結(jié)果（其中正面朝上與反面朝上是不同的結(jié)果）
（2）若摸到正面朝上時(shí)得2分，摸到反面朝上得1分，求3次摸得總分為5分的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

關(guān)于圖中的正方體ABCD-A1B1C1D1，下列說(shuō)法正確的有：
 
．
①P點(diǎn)在線段BD上運(yùn)動(dòng)，棱錐P-AB1D1體積不變；
②P點(diǎn)在線段BD上運(yùn)動(dòng)，直線AP與平面A1B1C1D1平行；
③一個(gè)平面α截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；
④一個(gè)平面α截此正方體，如果截面是四邊形，則必為平行四邊形；
⑤平面α截正方體得到一個(gè)六邊形（如圖所示），則截面α在平面AB1D1與平面BDC1間平行移動(dòng)時(shí)此六邊形周長(zhǎng)先增大，后減小．

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