Question

已知

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），且f（x）=

a

•

b

，
（1）求f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]的最大值；
（2）若f（x）=1-

3

，x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得出？

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=

a

•

b

=2sin(2x+

π

6

)+1，由x∈[-

π

3

，

π

3

]，可得(2x+

π

6

)∈[-

π

2

，

5π

6

].sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]．即可得出f（x）取得最大值．
（2）由（1）可得：2sin(2x+

π

6

)+1=1-

3

，化為sin(2x+

π

6

)=-

3

2

，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移

π

12

個單位可得y=2sin(2x+

π

6

)的圖象，在向上平移一個單位可得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1圖象．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴(2x+

π

6

)∈[-

π

2

，

5π

6

]．
∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]．
∴當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，sin(2x+

π

6

)取得最大值1，f（x）取得最大值3．
（2）由（1）可得：2sin(2x+

π

6

)+1=1-

3

，
解得sin(2x+

π

6

)=-

3

2

，
又(2x+

π

6

)∈[-

π

2

，

5π

6

]．
∴2x+

π

6

=-

π

3

，解得x=-

π

4

．
（3）由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移

π

12

個單位可得y=2sin(2x+

π

6

)的圖象，在向上平移一個單位可得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1圖象．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象變換，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．