Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(-1，-

2

2

)，（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₂的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，求△ABF₁面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)(-1，-

2

2

)，即可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出面積，利用配方法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意b=1，橢圓M的方程為

x2

a2

+y2=1(a＞1)．…（1分）
將點(diǎn)(-1，-

2

2

)代入橢圓方程，得

1

a2

+

1

2

=1，解得a²=2．
∴橢圓M的方程為

x2

2

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線AB的方程為：x=my+1．
由

x=my+1 x2+2y2=2

得（m²+2）y²+2my-1=0．
顯然△=4m²+4（m²+2）＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y1+y2= -2m m2+2 y1•y2= -1 m2+2 .

…（7分）
∵△ABF₁的面積S=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)，其中y₁y₂＜0．
∴S=

1

2

|F1F2||y1-y2|．
又(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(

-2m

m2+2

)2-4(

-1

m2+2

)=

8m2+8

(m2+2)2

，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．…（9分）
∴S2=(y1-y2)2=8[

1

m2+2

-

1

(m2+2)2

]=-8(

1

m2+2

-

1

2

)2+2≤2．
當(dāng)m=0時(shí)，上式中等號成立．
即當(dāng)m=0時(shí)，△ABF₁的面積取到最大值

2

．…（11分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查配方法，屬于中檔題．