Question

過圓x²+y²=1上一點(diǎn)Q作圓的一點(diǎn)切線L，則L和拋物線y=

1

4

x²+1有公共點(diǎn)的概率是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,幾何概型,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：數(shù)形結(jié)合,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出切線方程，通過切線與拋物線以及圓相切，求出切線的斜率，推出切點(diǎn)之間的圓心角的范圍，利用幾何概型求出滿足題意的概率．

解答： 解：如圖，由題意可知切線的斜率存在．
設(shè)切線方程為：y=kx+m，m＜0．
切線L和拋物線y=

1

4

x²+1有公共點(diǎn)，
則

y=kx+m y= 1 4 x2+1

，消去y可得：

1

4

x²-kx-m+1=0，∴△=k²+m-1=0…①，
直線L與圓相切，可得

|m|

1+k2

=1…②，
解①②可得，m=1（舍去），或m=-2，此時k=±

3

，
切線的傾斜角為：

π

3

或

2π

3

，
此時兩個切點(diǎn)之間的圓心角為：

2π

3

，
切線L和拋物線y=

1

4

x²+1有公共點(diǎn)的圓心角是

4π

3

，
切線L和拋物線y=

1

4

x²+1有公共點(diǎn)的概率：

4π 3

2π

=

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查幾何概型，直線與圓相切條件的應(yīng)用，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，是綜合性比較強(qiáng)題目．