Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），且傾斜角α=

π

4

以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)ρ=4sinθ 根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由題意可得直線的方程為

x=1+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

，代入曲線方程化簡(jiǎn)求得t₁ 和t₂ 的值，可得|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)ρ=4sinθ，即 ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程為 x²+（y-2）²=4，
表示以（0，2）為圓心、半徑等于2的圓．
（Ⅱ）由直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），且傾斜角α=

π

4

，可得直線的方程為

x=1+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

．
把直線方程代入曲線方程化簡(jiǎn)可得 (1+

2

2

t)2+(1+

2

2

t)2-4（1+

2

2

t），
解得 t₁=

2

，t₂=-

2

，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．