【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為， ，且經(jīng)過點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）的頂點都在橢圓上，其中關于原點對稱，試問能否為正三角形？并說明理由.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 不可能為正三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設橢圓的標準方程為，依題意得，利用橢圓的定義可得，則橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，設方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得， ，則，同理可得.據(jù)此可得關于實數(shù)k的方程，方程無解，則不可能為正三角形.

試題解析：

(Ⅰ)設橢圓的標準方程為，

依題意得，

，

所以， ，

故橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，

設方程為，

則的方程為，聯(lián)立方程，

解得， ，

所以，

同理可得.

又，所以，

化簡得無實數(shù)解，

所以不可能為正三角形.

練習冊系列答案
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年份

2010

2011

2012

2013

2014

科研費用x(百萬元)

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

公司所獲利潤y(百萬元)

1

1.5

2

2.5

3

(1)求y關于x的回歸直線方程；

(2)若該公司的科研投入從2011年開始連續(xù)10年每一年都比上一年增加10萬元，預測2017年該公司可獲得的利潤約為多少萬元．

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（2）記，求.

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