Question

已知實數x，y滿足

3 x+y=|a-2| y= 9-x2

，則不等式2^|1-a|-1＞a（a-2）成立的概率是（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考點：幾何概型,分段函數的應用

專題：不等式的解法及應用,直線與圓,概率與統計

分析：判斷（x，y）是直線與半圓的交點，則

|a-2|

2

≤3，解得a的范圍．由不等式2^|1-a|≤（1-a）²得2≤|1-a|≤4解出a，由幾何概型及對立事件可得所求概率．

解答： 解：

3

x+y=|a-2|表示直線，
y=

9-x2

表示圓心在原點，半徑為3的上半圓，
由于直線與半圓有交點，
則

|a-2|

2

≤3，解得-4≤a≤8，
而不等式2^|1-a|-1≤a（a-2）即2^|1-a|≤|1-a|²，
得2≤|1-a|≤4，解得a∈[-3，-1]∪[3，5]，
由幾何概型及對立事件可得P=1-

4

12

=

2

3

．
故選C．

點評：本題考查不等式表示的平面區(qū)域，考查直線與圓的位置關系，以及不等式的解法，同時考查幾何概率的求法，屬于中檔題．