Question

已知向量

a

=（2，2），向量

b

與向量

a

的夾角為

3π

4

，且

a

•

b

=-2，
（1）求向量

b

；
（2）已知向量

b

與x軸垂直，向量

c

=（cosA，2cos²

C

2

），其中A、C是△ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|

b

+

c

|的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)

b

=（x，y），利用向量的數(shù)量積坐標運算和向量的夾角公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得B，再利用數(shù)量積性質(zhì)、三角函數(shù)恒等變換、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)

b

=（x，y），∵向量

a

=（2，2），向量

b

與向量

a

的夾角為

3π

4

，且

a

•

b

=-2，
∴cos

3π

4

=

-2

8 • x2+y2

，2x+2y=-2．
化為

x+y=-1 x2+y2=1

，解得

x=-1 y=0

，或

x=0 y=-1

．
∴

b

=（-1，0），或（0，-1）．
（2）∵向量

b

與x軸垂直，∴

b

=（0，-1）．
∵三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，∴B=

π

3

．

b

+

c

=(cosA，2cos2

C

2

-1)=（cosA，cosC）．
|

b

+

c

|=

cos2A+cos2C

=

1+cos2A 2 + 1+cos2C 2

=

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

，
∵0＜C＜

2π

3

，∴-

2π

3

＜

2π

3

-2C＜

2π

3

．
∴-

1

2

＜cos(

2π

3

-2C)≤1．
∴

1

2

≤1-

1

2

cos(

2π

3

-2C)＜

5

4

，
∴

2

2

≤

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

＜

5

2

．
∴|

b

+

c

|的取值范圍是[

2

2

，

5

2

)．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積坐標運算和向量的夾角公式、等差數(shù)列的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理、數(shù)量積性質(zhì)、三角函數(shù)恒等變換、余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．