【題目】已知等差數(shù)列中，，公差；數(shù)列中，為其前項和，滿足．

（1）記，求數(shù)列的前項和；

（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列滿足數(shù)列的前項積，若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的最大值．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）最大值為．

【解析】

試題分析：（1）由，得到，即可利用裂項相消求解數(shù)列的和；（2）根據(jù)數(shù)列的和的關(guān)系，得出，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列；（3）由，進而得出，由，得到當(dāng)時， 單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，但當(dāng)時，每一項均小于，即可解數(shù)列的最大值．

試題解析：（1）∵，∴，

∴．．．．．3分

（2）∵，∴，∴時，∴ ，

∵符合上式，∴，故數(shù)列是等比數(shù)列．．．．．．．．．．．．．．．7分

（3）∵，∴，當(dāng)時，

，又符合上式，

∴；∵，

所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，但當(dāng)時，每一項均小于0，

所以的最大值為．．12分

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