Question

（本小題共14分）

如圖所示多面體中，AD⊥平面PDC，ABCD為平行四邊形，E，F分別為AD，BP的中點，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求證：EF∥平面PDC；

（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求證BE⊥DP;

（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求該多面體的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）、（2）見解析；（3）.

【解析】（18）解（Ⅰ）取PC的中點為O，連FO,DO，

∵F,O分別為BP，PC的中點，

∴∥BC，且,

又ABCD為平行四邊形,∥BC，且,

∴∥ED，且

∴四邊形EFOD是平行四邊形          --------------------------------2分

即EF∥DO   又EF平面PDC  

∴EF∥平面PDC．           ------------------------------------------- 4分

（Ⅱ）若∠CDP＝90°,則PD⊥DC，

又AD⊥平面PDC  ∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD,                      --------------------------------- 6分

  ∵BE平面ABCD，

∴BE⊥DP                             -------------------------------- 8分

（Ⅲ）連結(jié)AC,由ABCD為平行四邊形可知與面積相等，

所以三棱錐與三棱錐體積相等，

即五面體的體積為三棱錐體積的二倍.

∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4

又∠CDP＝120°PC=2，

由余弦定理并整理得, 解得DC=2   ------------------- 10分

∴三棱錐的體積

∴該五面體的體積為                         -------------------- 12分