(本小題共14分)

如圖所示多面體中,AD⊥平面PDC,ABCD為平行四邊形,E,F分別為ADBP的中點,AD=AP=,PC=.

(Ⅰ)求證:EF∥平面PDC;

(Ⅱ)若∠CDP=90°,求證BEDP;

(Ⅲ)若∠CDP=120°,求該多面體的體積.

 

【答案】

(1)、(2)見解析;(3).

【解析】(18)解(Ⅰ)取PC的中點為O,連FO,DO,

F,O分別為BPPC的中點,

BC,且,

ABCD為平行四邊形,BC,且,

ED,且

∴四邊形EFOD是平行四邊形          --------------------------------2分

EFDO   又EF平面PDC  

EF∥平面PDC.           ------------------------------------------- 4分

(Ⅱ)若∠CDP=90°,則PDDC,

AD⊥平面PDC  ∴ADDP,

PD⊥平面ABCD,                      --------------------------------- 6分

  ∵BE平面ABCD,

BEDP                             -------------------------------- 8分

(Ⅲ)連結(jié)AC,由ABCD為平行四邊形可知面積相等,

所以三棱錐與三棱錐體積相等,

即五面體的體積為三棱錐體積的二倍.

AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP,由AD=3,AP=5,可得DP=4

又∠CDP=120°PC=2

由余弦定理并整理得, 解得DC=2   ------------------- 10分

三棱錐的體積

∴該五面體的體積為                         -------------------- 12分

 

練習冊系列答案
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(Ⅰ)求證:直線∥平面;

(Ⅱ)求證:平面;

(Ⅲ)求三棱錐的體積.

 

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