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11.設(shè)函數(shù)f(x)=a1nx+1a2x2-x(a∈R且a≠1),若?x0∈[1,+∞),使得f(x0)<aa1,則a的取值范圍為( �。�
A.(-21,21B.(-21,1)C.(1,+∞)D.(-21,21)∪(1,+∞)

分析 利用導(dǎo)數(shù)分類求出函數(shù)f(x)=a1nx+1a2x2-x在∈[1,+∞)上的最小值,再由最小值小于aa1列不等式求得a的取值范圍.

解答 解:由f(x)=a1nx+1a2x2-x,得
f′(x)=ax+1ax1=1ax2x+ax=x1[1axa]x
當(dāng)a>1時,f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
∴f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),
又當(dāng)x→+∞時,f(x)→-∞,而aa1>0,符合題意;
當(dāng)a≤12時,f′(x)>0在[1,+∞)上恒成立,
f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),fxmin=f1=1a21=a+12,
a+12aa1,得12a21;
當(dāng)12a1時,f(x)在[1,a1a)上為減函數(shù),在(a1a+)上為增函數(shù),
∴f(x)的最小值為f(a1a)=alna1a+1a2a1a2a1a=alna1a+a221a,
alna1a+a221aaa1,得lna1aa2a1,此時顯然不成立.
綜上,a的取值范圍為(-21,21)∪(1,+∞).
故選:D.

點評 本題考查恒成立問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,訓(xùn)練了特稱命題的應(yīng)用,是中檔題.

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