A. | (-√2−1,√2−1) | B. | (-√2−1,1) | C. | (1,+∞) | D. | (-√2−1,√2−1)∪(1,+∞) |
分析 利用導(dǎo)數(shù)分類求出函數(shù)f(x)=a1nx+1−a2x2-x在∈[1,+∞)上的最小值,再由最小值小于aa−1列不等式求得a的取值范圍.
解答 解:由f(x)=a1nx+1−a2x2-x,得
f′(x)=ax+(1−a)x−1=(1−a)x2−x+ax=(x−1)[(1−a)x−a]x,
當(dāng)a>1時,f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
∴f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),
又當(dāng)x→+∞時,f(x)→-∞,而aa−1>0,符合題意;
當(dāng)a≤12時,f′(x)>0在[1,+∞)上恒成立,
f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),f(x)min=f(1)=1−a2−1=−a+12,
由−a+12<aa−1,得−1−√2<a<√2−1;
當(dāng)12<a<1時,f(x)在[1,a1−a)上為減函數(shù),在(a1−a,+∞)上為增函數(shù),
∴f(x)的最小值為f(a1−a)=alna1−a+1−a2•(a1−a)2−a1−a=a(lna1−a+a−22(1−a)),
由a(lna1−a+a−22(1−a))<aa−1,得lna1−a<a2(a−1),此時顯然不成立.
綜上,a的取值范圍為(-√2−1,√2−1)∪(1,+∞).
故選:D.
點評 本題考查恒成立問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,訓(xùn)練了特稱命題的應(yīng)用,是中檔題.
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A. | ln2+1 | B. | ln2-1 | C. | ln3+1 | D. | ln3-1 |
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A. | B>60° | B. | B=60° | C. | B<60° | D. | B≠60° |
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A. | 100 | B. | 110 | C. | 115 | D. | 120 |
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