Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=mex﹣lnx﹣1．
（1）當m=1，x∈[1，+∞）時，求y=f（x）的值域；
（2）當m≥1時，證明：f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=1時，f（x）=ex﹣lnx﹣1，f′（x）=ex﹣ ，

故f′（x）＞0在x∈[1，+∞）恒成立，

故f（x）在[1，+∞）遞增，f（x）的最小值是f（1）=e﹣1，

故f（x）在值域是[e﹣1，+∞）

（2）解：當m≥1時，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．

要證明f（x）＞1，只需證明ex﹣lnx﹣2＞0．

以下給出三種思路證明ex﹣lnx﹣2＞0．

思路1：設(shè)g（x）=ex﹣lnx﹣2，則g′（x）=ex﹣ ．

設(shè)h（x）=ex﹣ ，則h′（x）=ex+ ＞0，

所以函數(shù)h（x）=g′（x）=ex﹣ 在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

因為g′（ ）= ﹣2＜0，g'（1）=e﹣1＞0，

所以函數(shù)g′（x）在（0，+∞）上有唯一零點x0，且x0∈（ ，1）．

因為g'（x0）=0時，所以 = ，即lnx0=﹣x0．

當x∈（0，x0）時，g'（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，g'（x）＞0．

所以當x=x0時，g（x）取得最小值g（x0）．

故g（x）≥g（x0）= ﹣lnx0﹣2= +x0﹣2＞0．

綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1．

思路2：先證明ex≥x+1（x∈R）．

設(shè)h（x）=ex﹣x﹣1，則h'（x）=ex﹣1．

因為當x＜0時，h'（x）＜0，當x＞0時，h'（x）＞0，

所以當x＜0時，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，

當x＞0時，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．

所以h（x）≥h（0）=0．

所以ex≥x+1（當且僅當x=0時取等號）．

所以要證明ex﹣lnx﹣2＞0，

只需證明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．

下面證明x﹣lnx﹣1≥0．

設(shè)p（x）=x﹣lnx﹣1，則p′（x）=1﹣ = ．

當0＜x＜1時，p'（x）＜0，當x＞1時，p'（x）＞0，

所以當0＜x＜1時，函數(shù)p（x）單調(diào)遞減，當x＞1時，函數(shù)p（x）單調(diào)遞增．

所以p（x）≥p（1）=0．

所以x﹣lnx﹣1≥0（當且僅當x=1時取等號）．

由于取等號的條件不同，

所以ex﹣lnx﹣2＞0．

綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1

【解析】（1）求得m=1時，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域即可；（2）：運用分析法證明，當m≥1時，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．要證明f（x）＞1，只需證明ex﹣lnx﹣2＞0，

思路1：設(shè)g（x）=ex﹣lnx﹣2，求得導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，證明大于0即可；

思路2：先證明ex≥x+1（x∈R），設(shè)h（x）=ex﹣x﹣1，求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0；證明x﹣lnx﹣1≥0．設(shè)p（x）=x﹣lnx﹣1，求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0，即可得證．

【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．