Question

已知正項等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，其中a₁≠a₂，a_m、a_k、a_h都是數(shù)列{a_n}中滿足a_h-a_k=a_k-a_m的任意項．
（Ⅰ）證明：m+h=2k；
（Ⅱ）證明：S_m•S_h≤S_k²；
（III）若也成等差數(shù)列，且a₁=2，求數(shù)列的前n項和．

Answer 1

解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意a₁＜0，d＞0．
∵a_h-a_k=a_k-a_m，∴（h-k）d=（k-m）d，∴m+h=2k．…（2分）
（II）=，∴S_m•S_h≤S_k²．…（6分）
（III）取m=1，k=2，h=3，顯然a₁，a₂，a₃滿足a₃-a₂=a₂-a₁．…（7分）
由也成等差數(shù)列，則．
兩邊平方得，
再兩邊平方整理得4a₁²-4a₁d+d²=0，即（2a₁-d）₂=0，
∴d=2a₁=4．…（9分）
∴a_n=（2n-1）a，S_n=2n²，
∴．，顯然這時數(shù)列{a_n}滿足題意． …（10分）
∴S_n-S₁=2n²-2=2（n²-1）．
∴…（12分）
則=
=．…（14分）
分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，用公差d，首項a₁將a_h，a_k，a_m表示出，化簡整理尋求h，k，m的關(guān)系．
（II）根據(jù)等差數(shù)列{a_n}的前n項和公式，將S_m•S_h與 S_k² 求出，，S_k2=利用基本不等式，結(jié)合已知，，（a₁+a_m）（a₁+a_h） =（a₁+a_k）²合理的放縮轉(zhuǎn)化，進行證明．
（III）不妨取m，n，h的一組特殊值尋求突破．取m=1，k=2，h=3．求得公差d，進而可求數(shù)列的前n項和，再用放縮法可證．
點評：本題以數(shù)列為依托研究不等式問題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項公式及計算，放縮法證明不等式．要求有較強的分析解決問題的能力，具備特殊化法突破困難的意識．