Question

已知正項(xiàng)等差數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，記數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及S₃=12求出a₂=4；再代入2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列求出公差即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）的結(jié)論代入，直接利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法即可求T_n．
解答：解：（Ⅰ）∵S₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，所以a₂=4．（1分）
又∵2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列，
∴a₂²=2a₁•（a₃+1），即a₂²=2（a₂-d）•（a₂+d+1），（3分）
解得，d=3或d=-4（舍去），
∴a₁=a₂-d=1，故a_n=3n-2．（6分）
（Ⅱ），
∴，①
①×得．②
①-②得=，（10分）
∴．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．