Question

函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（4）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）解出2x=

1+y

1-y

，令2^x＞0，解出即可得到值域；
（2）運用單調(diào)性的定義判斷，注意作差、變形、定符號、下結(jié)論等步驟；
（3）運用奇偶性的定義，注意先求定義域，再計算f（-x）；
（4）先由奇偶性得到f（1-m）＜f（m²-1），再運用單調(diào)性得到1-m＜m²-1，解出即可．

解答： 解：（1）∵2x=

1+y

1-y

，
又2^x＞0，∴-1＜y＜1．
∴函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
（2）函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．
證明：f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在定義域R中任取兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁＜2^x₂，
從而f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
證明：定義域為R，關(guān)于原點對稱，
∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（4）∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
由于函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，
則1-m＜m²-1，即m²+m-2＞0，解得m＜-2或m＞1．
∴原不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)的奇偶性的判斷，注意運用定義，同時考查二次不等式的解法，屬于中檔題．