已知函數(shù)
(I)當a=1時,求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當a<0且x∈[0,π]時,函數(shù)f (x)的值域是[3,4],求a+b的值.
【答案】分析:把函數(shù)解析式括號中的第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù),
(I)把a=1代入化簡后的函數(shù)解析式中,根據(jù)正弦函數(shù)在[2kπ-,2kπ+]時單調(diào)遞增,列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)由x的范圍,求出這個角的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域,根據(jù)a小于0,由正弦函數(shù)的最大值及最小值表示出函數(shù)的最大值及最小值,得到關(guān)于a與b的方程組,求出方程組的解集得到a與b的值,進而求出a+b的值.
解答:解:
=a(cosx+1+sinx)+b
=asin(x+)+a+b,(2分)
(I)當a=1時,f(x)=asin(x+)+1+b,
∴當2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z)時,f(x)是增函數(shù),
解得:2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-,2kπ+](k∈Z);(7分)
(II)由0≤x≤π,得到≤x+,
∴-≤sin(x+)≤1,(9分)
∵a<0,∴當sin(x+)=1時,f(x)取最小值,即a+a+b=3①,
當sin(x+)=-時,f(x)取最大值4,即b=4,
將b=4代入①式,解得a=1-
則a+b=5-.(13分)
點評:此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,以及正弦函數(shù)的單調(diào)性,利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)。

   (I)當a=1時,求在區(qū)間[1,e]的最大值和最小值;

   (II)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象總在直線的下方,求a的取值范圍。

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已知函數(shù)
(I)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處切線的斜率;
(II)當a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知 函數(shù)
(I)當a=1時,求f(x)最小值;
(II)求f(x)的最小值g(a);
(III)若關(guān)于a的函數(shù)g(a)在定義域[2,10]上滿足g(-2a+9)<g(a+1),求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年黑龍江省高三第四次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

選修4—5:不等式選講

已知函數(shù)。

( I)當a=-3時,求的解集;

(Ⅱ)當f(x)定義域為R時,求實數(shù)a的取值范圍

 

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