Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點到焦點的距離為2，離心率為

3

2

．
（1）求a，b的值．
（2）設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點，過點P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點．
（ⅰ）若k=1，求△OAB面積的最大值；
（ⅱ）若PA²+PB²的值與點P的位置無關(guān)，求k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設(shè)知a=2，e=

c

a

=

3

2

，由此能求出a=2，b=1．
（2）（i）由（1）得，橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1．設(shè)點P（m，0）（-2≤m≤2），點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）．若k=1，則直線l的方程為y=x-m．聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得

5

4

x²-2mx+m²-1=0．|AB|=

4

5

2

•

5-m2

，點O到直線l的距離d=

|m|

2

，由此求出S_△OAB取得最大值1．
（ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）．將直線l與橢圓方程聯(lián)立，得（1+4k²）x²-8mk²x+4（k²m²-1）=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出k的．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）由題設(shè)知a=2，e=

c

a

=

3

2

，
所以c=

3

，故b²=4-3=1．
因此，a=2，b=1．…（2分）
（2）（i）由（1）可得，橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1．
設(shè)點P（m，0）（-2≤m≤2），點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）．
若k=1，則直線l的方程為y=x-m．
聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，
即

y=x-m x2 4 +y2=1

．將y消去，化簡得

5

4

x²-2mx+m²-1=0．
解得x₁=

2(2m- 1-m2 )

5

，x₂=

2(2m+ 1-m2 )

5

，
從而有，x₁+x₂=

8m

5

，x₁•x₂=

4(m2-1)

5

，
而y₁=x₁-m，y₂=x₂-m，
因此，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(x1-x2)2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4

5

2

•

5-m2

，
點O到直線l的距離d=

|m|

2

，
所以，S_△OAB=

1

2

×|AB|×d=

2

5

5-m2

×|m|，
因此，S²_△OAB=

4

25

（ 5-m²）×m²≤

4

25

•（

5-m2+m2

2

）²=1．…（6分）
又-2≤m≤2，即m²∈[0，4]．
所以，當(dāng)5-m²=m²，即m²=

5

2

，m=±

10

2

時，S_△OAB取得最大值1．…（8分）
（ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）．
將直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，即

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

．
將y消去，化簡得（1+4k²）x²-8mk²x+4（k²m²-1）=0，
解得，x₁+x₂=

8mk2

1+4k2

，x₁•x₂=

4(k2m2-1)

1+4k2

．…（10分）
所以PA²+PB²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=

3

4

（x₁²+x₂²）-2m（x₁+x₂）+2m²+2
=

m2(-8k4-6k2+2)+(1+4k2)(8k2+8)

(1+4k2)2

 （*）．…（14分）
因為PA²+PB²的值與點P的位置無關(guān)，即（*）式取值與m無關(guān)，
所以有-8k⁴-6k²+2=0，解得k=±

1

2

．
所以，k的值為±

1

2

．…（16分）

點評：本題考查橢圓方程中的參數(shù)的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查直線的斜率的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．