Question

如圖，四棱錐E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段CE上是否存在一點F使得平面BDF⊥平面CDE，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BD⊥AD，利用平面EAD⊥平面ABCD，證明BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面CDE的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面BEF一個法向量，利用平面BEF⊥平面CDE，向量的數量積為0，即可得出結論．

解答： （I）證明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得BD=2

2

．
由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得AD=2

2

．
又AB=4，所以BD⊥AD．
又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面ADE．　　　　　　　　　…（5分）
（II）解：建立空間直角坐標系D-xyz，
則D（0，0，0），B(0，2

2

，0)，C(-

2

，

2

，0)，E(

2

，0，

2

)，

BE

=(

2

，-2

2

，

2

)，

DE

=(

2

，0，

2

)，

DC

=(-

2

，

2

，0)．
設

n

=（x，y，z）是平面CDE的一個法向量，則

x+z=0 -x+y=0.

令x=1，則

n

=（1，1，-1）．
設直線BE與平面CDE所成的角為α，
則sinα=

2

3

所以BE和平面CDE所成的角的正弦值

2

3

．　　　　　　…（10分）
（III）解：設

CF

=λ

CE

，λ∈[0，1]．

DC

=(-

2

，

2

，0)，

CE

=(2

2

，-

2

，

2

)，

DB

=(0，2

2

，0)．
則

DF

=

DC

+

CF

=

DC

+λ

CE

=

2

(2λ-1，-λ+1，λ)．
設

m

=（x'，y'，z'）是平面BEF一個法向量，則

y′=0 (2λ-1)x′+(-λ+1)y′+λz′=0.

令x'=1，則

m

=（1，0，-

2λ-1

λ

）．
若平面BEF⊥平面CDE，則

m

•

n

=0，即1+

2λ-1

λ

=0，λ=

1

3

∈[0，1]．
所以，在線段CE上存在一點F使得平面BEF⊥平面CDE．…（14分）

點評：本題考查線面、面面垂直的判定，考查線面角，正確運用向量知識是關鍵．