已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，PF1與y軸的交點(diǎn)Q恰為PF1的中點(diǎn)，|OQ|=
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求△AMN面積的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出PF2⊥F1F2．由F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），得|PF1|=
|F1F2|2+|PF2|2
=
5
2
．c=1，從而得到2a=|PF1|+|PF2|=
5
2
+
3
2
=4，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F1（-1，0）的直線l的斜率為k，當(dāng)k不存在時(shí)，S△AMN=
1
2
|MN||AF1|=
9
2
；當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．由
y=k(x+1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，由|MN|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2

=
12(k2+1)
3+4k2
，點(diǎn)A（2，0）到直線y=k（x+1）的距離d=
|3k|
k2+1
，由此能求出△AMN面積的取值范圍．
解答： 解：（I）因?yàn)镼為PF1的中點(diǎn)，O為F1F2的中點(diǎn)，|OQ|=
3
4
，
所以PF2∥OQ，且|PF2|=2|OQ|=
3
2
．
所以PF2⊥F1F2．
因?yàn)镕1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），所以|PF1|=
|F1F2|2+|PF2|2
=
5
2
．c=1，
因?yàn)?a=|PF1|+|PF2|=
5
2
+
3
2
=4，
所以a=2，b2=4-1=3．
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F1（-1，0）的直線l的斜率為k，顯然k≠0．
（1）當(dāng)k不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，所以|MN|=3．
因?yàn)锳（2，0），所以S△AMN=
1
2
|MN||AF1|=
9
2
．
（2）當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．
由
y=k(x+1)
x2
4
+
y2
3
=1
，消y并整理得：
（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=
-8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2
．
因?yàn)閨MN|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+k2)[(x12+x22)-4x1x2]

=
(1+k2)[
64k4
(3+4k2)2
-
4(4k2-12)
3+4k2
]

=
12(k2+1)
3+4k2
，
又因?yàn)辄c(diǎn)A（2，0）到直線y=k（x+1）的距離d=
|3k|
k2+1
，
所以S△AMN=
1
2
•d•|MN|=
1
2
•
12(k2+1)
3+4k2
•
|3k|
k2+1

=18•
|k|
k2+1
3+4k2
=18
k2(k2+1)
(3+4k2)2

=18
k4+k2
9+24k2+16k4
=18
1+
1
k2
9
k4
+
24
k2
+16
，
設(shè)m=
1
k2
，則
S△AMN=18
1+m
9m2+24m+16

=18
1
9m2+24m+16
m+1

=18
1
9(m+1)2+6(m+1)+1
m+1

=18
1
9(m+1)+
1
m+1
+6
．
因?yàn)閙＞0，所以m+1＞1．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=9x+
1
x
在（
1
3
，+∞）上單調(diào)遞增，
所以9（m+1）+
1
m+1
＞10．
所以9（m+1）+
1
m+1
+6＞16．
所以
1
9(m+1)+
1
m+1
+6
＜
1
16
．
所以
1
9(m+1)+
1
m+1
+6
＜
1
4
．
所以18
1
9(m+1)+
1
m+1
+6
＜
9
2

所以0＜S△AMN＜
9
2
．
綜合（1）（2）可知 0＜S△AMN≤
9
2
．
∴△AMN面積的取值范圍是（0，
9
2
]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形的面積的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，右焦點(diǎn)為F（2，0）．拋物線C2：y2=2px（p＞0）與橢圓C1交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）求
FA
•
FB
的最小值，并求此時(shí)拋物線C2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax（a∈R），且函數(shù)f（x）的最小值為a．
（1）已知b∈R，設(shè)af（x）+bx＞0，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；      
（2）設(shè)n∈N，證明
 
 
(
k
n
)n＜
e
e-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2x，g（x）=x2-2x（x∈（2，4）），求f（x），g（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為為
2
2
．點(diǎn)P在橢圓E上，且△PF1F2的周長(zhǎng)為4
2
+4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（a-
1
2
）x2-2ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求g（x）=f（x）+ax在x=1處的切線方程；
（Ⅲ）若在區(qū)間（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在正方形ABCD=A1B1C1D1中，AB=2，O為底面正方形A1B1C1D1的中心，E、F分別為A1B1、B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M為EF上一點(diǎn)，且滿足
EM
=
2
3
EF
，P為正方體底面ABCD上的點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面DEF⊥平面BB1DD1．
（Ⅱ）若OP與DM相交，試判斷OM與DP的位置關(guān)系；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求平面CDP與平面DPO所成銳二面角的大小為θ，求cosθ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，圓O：x2+y2=b2將橢圓C的長(zhǎng)軸三等分，直線l：y=mx-
4
5
（m≠0）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證△APB為直角三角形；并求出該三解形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段CE上是否存在一點(diǎn)F使得平面BDF⊥平面CDE，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案