Question

如圖，在正方形ABCD=A₁B₁C₁D₁中，AB=2，O為底面正方形A₁B₁C₁D₁的中心，E、F分別為A₁B₁、B₁C₁的中點，點M為EF上一點，且滿足

EM

=

2

3

EF

，P為正方體底面ABCD上的點．
（Ⅰ）求證：平面DEF⊥平面BB₁DD₁．
（Ⅱ）若OP與DM相交，試判斷OM與DP的位置關系；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求平面CDP與平面DPO所成銳二面角的大小為θ，求cosθ

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用線面垂直證明面面垂直，EF⊥面BB₁D₁D，面DEF⊥面BB₁D₁；（Ⅱ）先證OM與DP共面，在利用正方體的幾何性質證明DP∥OM；（Ⅲ）建立空間坐標系，用向量法解決．

解答： 本題滿分（13分）．
（Ⅰ）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁C₁⊥B₁D₁，BB₁⊥A₁C₁…（1分）
∵E，F(xiàn)分別為A₁B₁，B₁C₁的中點，∴EF∥A₁C₁…（2分）∴EF⊥B₁D₁，EF⊥BB₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，∴EF⊥面BB₁D₁D
又EF?面DEF…（3分）∴面DEF⊥面BB₁D₁D…（4分）
（Ⅱ）∵OP與DM相交，
∴OP與DM確定一個平面α，P為正方體底面ABCD上的點…（5分）
∴平面α∩面ABCD=DP，平面α∩面A₁B₁C₁D₁=OM…（6分）
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁∴DP∥OM…（7分）
（Ⅲ）如圖以D₁為原點，D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直線分別為x軸，
y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A₁（2，0，0），B₁（2，2，0），C₁（0，2，0），O（1，1，0），D（0，0，2），E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0）…（8分）
設M（m，n，0），
由

EM

=

2

3

EF

，得（m-2，n-1，0）=

2

3

(-1，1，0)
解得m=

4

3

，n=

5

3

，即M(

4

3

，

5

3

，0)…（10分）
由（Ⅱ）可知：面CPD與面ABCD共面，
面DOP與面DOM共面，
面ABCD的一個法向量為

n1

=(0， 0， 1)
設面DOM的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，∵

OD

=(-1，  -1，  2)，

OM

=(

1

3

，  

2

3

，  0)
∴由

n2 • OD =0 n2 • OM =0

，可得

-x-y+2z=0 1 3 x+ 2 3 y=0

令z=1，則x=4，y=-2，即

n2

=(4，  -2，  1)…（12分）
cos?

n1

， 

n2

＞=

1

1× 21

=

21

21

，故cosθ=

21

21

…（13分）

點評：本題考查面面垂直，空間直線的位置關系，二面角的平面角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．