Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R），且函數(shù)f（x）的最小值為a．
（1）已知b∈R，設(shè)af（x）+bx＞0，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；      
（2）設(shè)n∈N，證明(

k

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)為x=alna，根據(jù)函數(shù)f（x）的最小值為a，求出a=1，將題目轉(zhuǎn)化成f（x）＞-bx在[0，2]上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求最值，問題得以解決．
（2）由（1）得，對(duì)于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x，令x=-

1

n

（n∈N*，i=1，2，…，n-1），便可得到不等關(guān)系，將n項(xiàng)求和可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax（a∈R），
∴f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=e^x-a=0，
解得x=lna，
即當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值．
∴f（lna）=a，
即a-alna=a，
解得a=1，a=0（舍去）
∵af（x）+bx＞0，且{x|0≤x≤2}⊆P
∴e^x-x+bx＞0，
當(dāng)x=0時(shí)，恒成立，
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，
∴b＞1-

ex

x

恒成立
令g（x）=

ex

x

，
則g′（x）=e^x（

x-1

x2

），
令g′（x）=e^x（

x-1

x2

）=0，
解得x=1，
即當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有最小值，最小值為g（1）=e，
∴b＞1-e，
綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是（1-e，+∞）；
（2）證明：由（1）得，對(duì)于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
令x=-

1

n

（n∈N*，i=1，2，…，n-1），則0＜1-

1

n

＜e-

1

n

∴(1-

1

n

)n＜e-

1

n

=e^-i（i=1，2，…，n-1），
即(

n-1

n

)n＜e^-i（i=1，2，…，n-1），

∴

n

k=1

(

k

n

)n=(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n＜e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1，

∵e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，
∴(

k

n

)n＜

e

e-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的最值問題，恒成立問題的轉(zhuǎn)化，以及不等式的證明．