Question

某裝修公司根據(jù)客戶要求裝飾一個墻角，施工設計時，在墻面交線AB與天花板ACD之間拉一條“定位線”EF（如圖），已知墻面交線AB、AC、AD兩兩垂直，且AB=2，AC=AD=3．（單位：分米）
（Ⅰ）若點E、F分別為AB、CD的中點，請指出此時直線EF與直線BC的位置關系（直接寫出結論）；
（Ⅱ）若E、F分別在AB、天花板ACD上運動時，始終保持“定位線”EF的長為定值2，記EF的中點為G，試探究線段AG的長是否也為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，客戶提出在點G處安裝一盞裝飾燈，為了美觀和更好地散熱，需將燈安裝在與天花板ACD的距離為

3

3

且與另兩墻距離之和最大處，求此時直線AG平與面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由直線的位置關系可判斷；（Ⅱ）由線面垂直得到EA⊥AF，在Rt△AEF，G為EF的中點，EF=2，∴AG=1；（Ⅲ）建系，利用空間向量解決．

解答： 解：（Ⅰ）直線EF與直線BC的位置關系：異面；
（Ⅱ）AB、AC、AD兩兩垂直，BA⊥面ACD，E、F分別在AB、天花板ACD上運動，∴EA⊥AF，在Rt△AEF，G為EF的中點，EF=2，∴AG=1；
（Ⅲ）以AC、AD、AB為x、y、z軸建系，設G（x，y，

3

3

），由（Ⅱ）知，AG=1，∴x2+y2+(

3

3

)2=1，x2+y2=

2

3

，點G兩墻距離之和x+y，由

n

x²+y²≥2xy，∴2（x²+y²）≥（x+y）²，即x+y≤

4 3

，
當且僅當x=y=

3

3

時取等號，此時，

AG

=（

3

3

，

3

3

，

3

3

），

CD

=（-3，3，0），

BC

=（3，0．-2），
設面BCD法向量

n

=（a，b，c），

n • CD =0 n • BC =0

，得

n

=（2，2，3），
設AG平與面BCD所成角θ，sinθ=|cos＜

n

，

AG

＞|=

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點評：本題以實際問題為背景，考查空間直線的位置關系，線面角，考查了學生的空間想象和思維能力，是中檔題．