Question

雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F(

2 3

3

，0)，漸近線(xiàn)方程為y=±

3

x．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，若滿(mǎn)足

OA

•

OB

=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知：雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，根據(jù)右焦點(diǎn)為F(

2 3

3

，0)，漸近線(xiàn)方程為y=±

3

x，建立方程組，解出即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y可化為關(guān)于x的一元二次方程，可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系；由

OA

•

OB

=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入解出即可．

解答： 解：（1）由題意可知：雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，
∵右焦點(diǎn)為F(

2 3

3

，0)，漸近線(xiàn)方程為y=±

3

x，
∴

c= 2 3 3 b a = 3 c2=a2+b2

，
∴a=

3

3

，b=1，
∴雙曲線(xiàn)C的方程為3x²-y²=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+1 3x2-y2=1

，化為（3-k²）x²-2kx-2=0，（3-k²≠0）．
∵直線(xiàn)y=kx+1與雙曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，∴△=4k²+8（3-k²）＞0，化為k²＜6．
∴x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=-

2

3-k2

．（*）
∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
把（*）代入上式得

-2(1+k2)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，
化為k²=1．滿(mǎn)足△＞0．
∴ak±1．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力、計(jì)算能力．