Question

已知直線：

sinθ

a

x+

cosθ

b

y=1（a，b為給定的正常數(shù)，θ為參數(shù)，θ∈[0，2π））構成的集合為S，給出下列命題：
①當θ=

π

4

時，S中直線的斜率為

b

a

；
②S中所有直線均經過一個定點；
③當a=b時，存在某個定點，該定點到S中的所有直線的距離均相等；
④當a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離的最小值為2b；
⑤S中的所有直線可覆蓋整個平面．
其中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,圓錐曲線的共同特征

專題：綜合題,直線與圓

分析：①當θ=

π

4

時，sinθ=cosθ，S中直線的斜率為-

b

a

，；
②S中所有直線均經過一個定點，不正確；
③當a=b時，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等；
④當a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離為d=

2

sin2θ a2 + cos2θ b2

≥2b，可得最小值大于2b；
⑤（0，0）不滿足方程．

解答： 解：①當θ=

π

4

時，sinθ=cosθ，S中直線的斜率為-

b

a

，故不正確；
②根據

sinθ

a

x+

cosθ

b

y=1，可知S中所有直線不可能經過一個定點，不正確；
③當a=b時，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等；
④當a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離為d=

2

sin2θ a2 + cos2θ b2

＞2b，即最小值大于2b；
⑤（0，0）不滿足方程，所以S中的所有直線不可覆蓋整個平面．
故答案為：③．

點評：本題考查直線系方程的應用，要明確直線系中直線的性質，結合圖形，判斷各個命題的正確性．