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如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=AA1=2,∠BAC=60°.
(1)證明:A1C⊥B1C1;
(2)求點(diǎn)B1到平面A1BC的距離;
(3)求二面角C1-A1B-C的大�。�

【答案】分析:(1)欲證A1C⊥B1C1,即證線面垂直,為了要證明線面垂直,即要證線線垂直,其中利用勾股定理證明AC⊥BC即可;
(2)利用空間向量的坐標(biāo)法求解,先建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)B1到平面A1BC的距離公式求解;
(3)先求出平面A1BC1的一個(gè)法向量,再利用兩個(gè)向量的夾角公式求解二面角C1-A1B-C的大小即可.
解答:證明:(1)在△ABC中,BC2=16+4-2×4×2×cos60=12,(2分)
∵AB2=AC2+BC2,
∴AC⊥BC,
∵A1A⊥平面ABC,
∴A1C⊥BC,
∵B1C1∥BC,
∴A1C⊥B1C1.(4分)

(2)由(1)知,AC⊥BC.建立如圖直角坐標(biāo)系,
則A1(2,0,2),
易求得,平面A1BC的一個(gè)法向量,
∴點(diǎn)B1到平面A1BC的距離.(8分)
(3)可求得平面A1BC1的一個(gè)法向量,,
∴二面角C1-A1B-C的大小是.(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系,以及空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
2
,側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交于點(diǎn)D,B1C1的中點(diǎn)為M,求證:CD⊥平面BDM.

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精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D為A1C1的中點(diǎn),E為B1C的中點(diǎn).
(1)求直線BE與A1C所成的角;
(2)在線段AA1中上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
AF
|;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分別為AC,B1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求線段MN的長;
(Ⅱ)求證:MN∥平面ABB1A1;
(Ⅲ)線段CC1上是否存在點(diǎn)Q,使A1B⊥平面MNQ?說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:A1C1∥平面ACD;
(Ⅱ)求異面直線AC與A1D所成角的大��;
(Ⅲ)證明:直線A1D⊥平面ADC.

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同步練習(xí)冊答案
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