解:(1)①不妨設(shè)a
1≥1,設(shè)數(shù)列a
n有n項在1和100之間,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388273.png)
≤100.所以,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33682.png)
≤100.
兩邊同取對數(shù),得(n-1)(lg3-lg2)≤2.解之,得n≤12.37.
故n的最大值為12,即數(shù)列a
n中,最多有12項在1和100之間.(5分)
②不妨設(shè)1≤a
1<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388274.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388275.png)
<<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388273.png)
≤100,其中a
1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388274.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388275.png)
,,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388273.png)
均為整數(shù),所以a
1為2
n-1的倍數(shù).所以3
n-1≤100,所以n≤5.(8分)
又因為16,24,36,54,81是滿足題設(shè)要求的5項.
所以,當(dāng)q=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時,最多有5項是1和100之間的整數(shù).(10分)
(2)設(shè)等比數(shù)列aq
n-1滿足100≤a<aq<<aq
n-1≤1000,
其中a,aq,,aq
n-1均為整數(shù),n∈N
*,q>1,顯然,q必為有理數(shù).(11分)
設(shè)q=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/74908.png)
,t>s≥1,t與s互質(zhì),
因為aq
n-1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388276.png)
為整數(shù),所以a是s
n-1的倍數(shù).(12分)
令t=s+1,于是數(shù)列滿足100≤a<a•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388277.png)
<<a•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388278.png)
≤100.
如果s≥3,則1000≥a•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388278.png)
≥(q+1)n-1≥4n-1,所以n≤5.
如果s=1,則1000≥a•2
n-1≥100•2
n-1,所以,n≤4.
如果s=2,則1000≥a•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33682.png)
≥100•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33682.png)
,所以n≤6.(13分)
另一方面,數(shù)列128,192,288,432,648,972滿足題設(shè)條件的6個數(shù),
所以,當(dāng)q>1時,最多有6項是100到1000之間的整數(shù).(16分)
分析:(1)①不妨設(shè)a
1≥1,設(shè)數(shù)列a
n有n項在1和100之間,由題意得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33682.png)
≤100.兩邊同取對數(shù)可得n≤12.37.從而得出n的最大值為12即得;
②不妨設(shè)1≤a
1<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388274.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388275.png)
<…<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388273.png)
≤100,其中a
1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388274.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388275.png)
,,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388273.png)
均為整數(shù),利用指數(shù)不等式3
n-1≤100,得出n≤5從而得出當(dāng)q=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時,最多有5項是1和100之間的整數(shù);
(2)設(shè)等比數(shù)列aq
n-1滿足100≤a<aq<<aq
n-1≤1000,再設(shè)q=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/74908.png)
,t>s≥1,t與s互質(zhì),根據(jù)題意得到a是s
n-1的倍數(shù),令t=s+1,于是數(shù)列滿足不等關(guān)系:100≤a<a•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388277.png)
<<a•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388278.png)
≤100.下面就s進行分類討論:如果s≥3,如果s=1,如果s=2,即可得出最多有幾項是100~1000之間的整數(shù).
點評:本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.