Question

16．如圖，曲線C₁是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一部分，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其兩焦點(diǎn)．曲線C₂是以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)、F₂為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的一個(gè)公共點(diǎn)，并且∠AF₂F₁為鈍角．我們把由曲線C₁和C₂合成的曲線C稱為“月食圓”．
①若|AF₁|=7，|AF₂|=5，則曲線C₁、C₂的方程分別為
$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1（-6≤x≤3）、y²=8x（0≤x≤3）
②過F₂作直線l，分別于“月食圓”依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則x₁x₂x₃x₄為定值；
③過F₂作直線l，分別于“月食圓”依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，$\frac{|CD|}{|BE|}$=$\frac{3}{4}$
④連接BF₁，EF₂，在△BF₁F₂中，記∠F₁BF₂=α，∠BF₁F₂=β，∠F₁F₂B=γ，則e=$\frac{sinα}{sinβ+sinγ}$．
以上說法正確的有①④．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓與拋物線的定義求解方程；（2）利用直線與橢圓拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；（3）通徑計(jì)算公式；（4）利用正弦定理計(jì)算．

解答 解：對(duì)于①，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）．則2a=|AF₁|+|AF₂|=7+5=12，得a=6，
設(shè)A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則（x+c）²+y²=7²，（x-c）²+y²=5²，
兩式相減得xc=6，由拋物線定義可知|AF₂|=x+c=5，
則c=2，x=3或x=2，c=3，又∠AF₂F₁為鈍角，則x=2，c=3舍去．
曲線C₁、C₂的方程別為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1（-6≤x≤3）、y²=8x（0≤x≤3），故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為x=c，x₁x₂x₃x₄=c⁴
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立y=$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為（b²+a²k²）x²-2ca²k²x+a²k²c²-a²b²=0，∴x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
聯(lián)立 $y=\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{{y}^{2}=4cx}\end{array}\right.$  化為：k²x²-（2ck²+4c）x+k²c²=0，∴x₃x₄=c²．
∴x₁x₂x₃x₄≠c⁴．因此不為定值，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為x=c，從而|CD|=2p=4c，|BE|=$\frac{2^{2}}{a}$，
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，$\frac{|CD|}{|BE|}$≠$\frac{3}{4}$，故③錯(cuò)
對(duì)于④，連接BF₁，EF₂，在△BF₁F₂中，由正弦定理可得$\frac{2c}{sinα}=\frac{B{F}_{1}}{sinγ}=\frac{B{F}_{2}}{sinβ}=\frac{B{F}_{1}+B{F}_{2}}{sinγ+sinβ}=\frac{2a}{sinγ+sinβ}$：正確．∴e=$\frac{c}{a}\\;\\;=\frac{sinα}{sinβ+sinγ}$，故④正確．
故答案：①④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、通經(jīng)計(jì)算公式、正弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．