如圖所示，已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），且F2到直線x-
3
y-9=0的距離等于橢圓的短軸長．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 若圓P的圓心為P（0，t）（t＞0），且經過F1、F2，Q是橢圓C上的動點且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點為M，當|QM|的最大值為
3
2
2
時，求t的值．
考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程
專題：圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（Ⅰ）設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），利用條件求出b，c，a，得到橢圓C的方程．
（Ⅱ） 設Q（x，y）圓P的方程為x2+（y-t）2=t2+1，利用PM⊥QM，求出|OM|的表達式，通過-4t≤-2，當-4t＞-2，分別求解|QM|的最大值．求出t，推出結果．
解答： 解：（Ⅰ）設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
依題意，2b=
|1-9|
2
=4，…（1分）
所以b=2…（2分）   又c=1，…（3分）
所以a2=b2+c2=5，…（4分）
所以橢圓C的方程為
x2
5
+
y2
4
=1．…（5分）
（Ⅱ） 設Q（x，y）（其中
x2
5
+
y2
4
=1），…（6分）
圓P的方程為x2+（y-t）2=t2+1，…（7分）
因為PM⊥QM，
所以|QM|=
|PQ|2-t2-1
=
x2+(y-t)2-t2-1
=
-
1
4
(y+4t)2+4+4t2
…（9分）
當-4t≤-2即t≥
1
2
時，當y=-2時，|QM|取得最大值，…（10分）
且|QM|max=
4t+3
=
3
2
2
，解得t=
3
8
＜
1
2
（舍去）．…（11分）
當-4t＞-2即0＜t＜
1
2
時，當y=-4t時，|QM|取最大值，…（12分）
且|QM|max=
4+4t2
=
3
2
2
，解得t2=
1
8
，又0＜t＜
1
2
，
所以t=
2
4
．…（13分）
綜上，當t=
2
4
時，|QM|的最大值為
3
2
2
．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與橢圓以及圓的位置關系，考查分析問題解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}中，a1，a13是方程x2-8x+1=0的兩個根，則a5•a7•a9等于（　�。�
A、1或-1B、-1C、1D、2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，若AB=
7
，AC=1，∠C=
π
3
，則BC=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（Ⅰ）試證明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（m，n，a，b∈R）
（Ⅱ）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y)2
+
1
(x-y)2
的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線與橢圓
x2
16
+
y2
7
=1共焦點，雙曲線的離心率為
3
2
．
（1）求橢圓長軸長、離心率．        
（2）求雙曲線方程和漸近線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，3)，
b
=(-3，4)，則
a
在
b
方向上的投影為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某市圖書館有三部電梯，每位乘客選擇哪部電梯到閱覽室的概率都是
1
3
．現(xiàn)有5位乘客準備乘電梯到閱覽室．
（1）求5位乘客選擇乘同一部電梯到閱覽室的概率；
（2）若記5位乘客中乘第一部電梯到閱覽室的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設曲線y=eax+sine在點（0，1）處的切線與直線x+2y+1=0垂直，則a=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，對于任意的n∈N*，都有
an+2-an+1
an+1-an
=k（k為常數(shù)），則稱{an}為“等差比數(shù)列”．下面對“等差比數(shù)列”的判斷：
①k不可能為0；
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
④通項公式為an=a•bn+c（a≠0，b≠0，1）的數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
⑤等差比數(shù)列中可以有無數(shù)項為0．
其中正確的個數(shù)是（　�。�
A、4B、3C、2D、1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案