Question

已知拋物線y²=x的弦AB與直線y=1公共點，且弦AB的中點N到y(tǒng)軸的距離為1，求弦AB長度的最大值，并求此直線AB所在的直線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線y²=x知p=

1

2

，F(xiàn)（

1

4

，0），根據(jù)拋物線的定義，三角形的邊角關(guān)系，判斷得出最值，及相應直線的位置，
（2）聯(lián)立方程組，借助韋達定理，弦長公式求解直線方程．

解答： 解：（1）由拋物線y²=x知p=

1

2

，F(xiàn)（

1

4

，0），
準線方程為x=-

1

4

，
N到準線的距離為d=1+

1

4

=

5

4

，
AF+BF=2×d=

5

2

，
在△ABF中，AF+BF≥AB，
所以AB=

5

2

取最大，此時直線AB過焦點F，
（2）設(shè)AB的方程：y=k（x-

1

4

），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
與y²=x聯(lián)立方程組化簡得：k²x²-（

k2+1

2

+1）x+

k2

16

=0，
x₁+x₂=

1

2

+

3

2k2

，x₁x₂=

1

16

，
|AB|²=（1+k²）|x₁-x₂|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=

25

4

，
求解得出：k=

6

3

，
∴直線AB的方程：y=

6

3

（x-

1

4

），即：直線的方程為：4x-2

6

y-1=0

點評：本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，焦點弦的性質(zhì)，求解方法，屬于中檔題．