Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)（4，-）．點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）求證：•=0；
（3）求△F₁MF₂面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）雙曲線方程為x²-y²=λ，點(diǎn)代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）先求出•的解析式，把點(diǎn)M（3，m）代入雙曲線，可得出•=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面積．
解答：解：（1）∵e=，∴可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ．
∵過點(diǎn)（4，-），∴16-10=λ，即λ=6．
∴雙曲線方程為x²-y²=6．
（2）證明：∵=（-3-2，-m），=（2-3，-m），
∴•=（3+2）×（3-2）+m²
=-3+m²，
∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9-m²=6，即m²-3=0，
∴•=0．
（3）△F₁MF₂的底|F₁F₂|=4，由（2）知m=±．
∴△F₁MF₂的高h(yuǎn)=|m|=，∴S△F₁MF₂=6．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、2個(gè)向量的數(shù)量積、雙曲線的性質(zhì)．