已知的前項(xiàng)和滿足，其中
（Ⅰ）求證：首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；
（Ⅱ）若，求證：，并給指出等號(hào)成立的充要條件。
見解析
（Ⅰ）由，即，
因，故，得 
又由題設(shè)條件知，
兩式相減得 ，即 由 ，知 ，
因此綜上對(duì)所有成立，從而是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，顯然 ，等號(hào)成立
設(shè) 且，由（Ⅰ）知 ，所以要證的不等式化為 
即證：，當(dāng) 時(shí)，上面不等式的等號(hào)成立
當(dāng) 時(shí)， 與 同為負(fù)；當(dāng) 時(shí) 
與 同為正，因此當(dāng) 且 時(shí)，
總有，即
上面不等式對(duì)從1到 求各得
由此得
綜上，當(dāng) 且 時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng) 或時(shí)等號(hào)成立。
【考點(diǎn)定位】本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，不等式恒成立問題，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，合理猜想與邏輯推理的概念．對(duì)不等式的考查有一定的難度，綜合性較強(qiáng)，需要同學(xué)有深厚的功底才能勝任本題的解答，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的考查較深
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某企業(yè)投資1千萬元于一個(gè)高科技項(xiàng)目,每年可獲利25%.由于企業(yè)間競爭激烈,每年底需要從利潤中取出資金萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入,方能保持原有的利潤增長率.設(shè)經(jīng)過年后該項(xiàng)目的資金為萬元.
1)寫出數(shù)列的前三項(xiàng),并猜想寫出通項(xiàng).
2)求經(jīng)過多少年后，該項(xiàng)目的資金可以達(dá)到或超過千萬元.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知為等差數(shù)列，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（），且是，的等差中項(xiàng)． 
（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令=，是否存在正整數(shù)，使 時(shí)，不等式恒成立，若存在，求的值；不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

下列結(jié)論正確的是（         ）（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
⑴常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
⑵若直角三角形的三邊、、成等差數(shù)列，則、、之比為；
⑶若三角形的三內(nèi)角、、成等差數(shù)列，則；
⑷若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的通項(xiàng)公式；
⑸若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則為等比數(shù)列。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在中角、、成等差數(shù)列，則=（  ）
A．B．C．D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)等差數(shù)列的公差，，若是與的等比中項(xiàng)，則的值為      ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

等差數(shù)列中，如果存在正整數(shù)和（），使得前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，則（    ）
A．B．
C．D．與4的大小關(guān)系不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在數(shù)列中，， ，則 (   )
A．B．C．D．

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同步練習(xí)冊(cè)答案