Question

14、已知等差數列{a_n}首項為a，公差為b，等比數列{b_n}首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，對于任意的n∈N^*，總存在m∈N^*，使得a_m+3=b_n成立，則a_n=

5n-3

．

Answer 1

分析：先利用a₁＜b₁，b₂＜a₃，以及a，b都是大于1的正整數求出a=2，再利用a_m+3=b_n求出滿足條件的b的值即可求出等差數列{a_n}的通項公式．

解答：解：∵a₁＜b₁，b₂＜a₃，
∴a＜b以及ba＜a+2b
∴b（a-2）＜a＜b，
a-2＜1?a＜3，
a=2．
又因為 a_m+3=b_n?a+（m-1）b+3=b•a^n-1．
又∵a=2，b（m-1）+5=b•2^n-1，則b（2^n-1-m+1）=5．
又b≥3，由數的整除性，得b是5的約數．
故2^n-1-m+1=1，b=5，
∴an=a+b（n-1）=2+5（n-1）=5n-3．
故答案為5n-3．

點評：本題考查等差數列與等比數列的基礎知識．考查了學生的計算能力以及對數列知識的綜合掌握，解題時注意轉化思想的運用，屬于基礎題．