Question

【題目】動點到距離與到直線的距離之比為，記動點的軌跡為.

（1）求出曲線的方程，并求出的最小值，其中點

（2）是曲線上的動點，且直線經過定點，問在軸上是否存在定點，使得，若存在，請求出定點；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），最小值為3；（2）存在，定點.

【解析】

（1）設動點為，設點到直線的距離為，由動點到距離與到直線的距離之比為，利用直接法求出點的軌跡；又，的最小值即為點到直線的距離；

（2）假設存在滿足題意的定點，設，設直線的方程為， ，，由消去，得，利用韋達定理以及，得直線與的斜率和為零，建立方程求解即可.

（1）設動點，設點到直線的距離為，

由已知，可得，

化簡得到軌跡的方程為：，

所以，的最小值即為點到直線的距離，最小值為3；

（2）假設存在滿足題意的定點，設，設直線的方程為， ，，

由消去，得，

由直線過橢圓內一點作直線，故，

由韋達定理得：

，，

由，得直線與的斜率和為零，所以有：

，

，

故：，,

所以存在定點，當直線斜率不存在時定點也符合題意，

綜上所述，定點.