Question

【題目】已知t為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2loga（2x+t﹣2），g（x）=logax，其中0＜a＜1．
（1）若函數(shù)y=g（ax+1）﹣kx是偶函數(shù)，求實數(shù)k的值；
（2）當x∈[1，4]時，f（x）的圖象始終在g（x）的圖象的下方，求t的取值范圍；
（3）設t=4，當x∈[m，n]時，函數(shù)y=|f（x）|的值域為[0，2]，若n﹣m的最小值為 ，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)y=g（ax+1）﹣kx是偶函數(shù)，

∴l(xiāng)oga（a﹣x+1）+kx=loga（ax+1）﹣kx，對任意x∈R恒成立，

∴2kx=loga（ax+1）﹣loga（a﹣x+1）=loga（ ）=x

∴k= ，

（2）解：由題意設h（x）=f（x）﹣g（x）=2loga（2x+t﹣2）﹣logax＜0在x∈[1，4]恒成立，

∴2loga（2x+t﹣2）＜logax，

∵0＜a＜1，x∈[1，4]，

∴只需要2x+t﹣2＞ 恒成立，

即t＞﹣2x+ +2恒成立，

∴t＞（﹣2x+ +2）max，

令y=﹣2x+ +2=﹣2（ ）2+ +2=﹣2（ ﹣ ）2+ ，x∈[1，4]，

∴（﹣2x+ +2）max=1，

∴t的取值范圍是t＞1，

（3）解：∵t=4，0＜a＜1，

∴函數(shù)y=|f（x）|=|2loga（2x+2）|在（﹣1，﹣ ）上單調遞減，在（﹣ ，+∞）上單調遞增，

∵當x∈[m，n]時，函數(shù)y=|f（x）|的值域為[0，2]，且f（﹣ ）=0，

∴﹣1＜m≤ ≤n（等號不同時取到），

令|2loga（2x+2）|=2，得x= 或 ，

又[ ﹣（﹣ ）]﹣[（﹣ ）﹣ ]= ＞0，

∴ ﹣（﹣ ）＞（﹣ ）﹣ ，

∴n﹣m的最小值為（﹣ ）﹣ = ，

∴a= ．

【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可得k的值；（2）構造函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質可得，只需要t＞﹣2x+ +2恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出t的取值范圍即可；（3）先判斷函數(shù)y=|f（x）|的單調性，令|2loga（2x+2）|=2，得到x= 或 ，即可得到n﹣m的最小值為（﹣ ）﹣ = ，求出a即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．