Question

給出下列命題：①y=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函數(shù)；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²在R上有3個零點；
④函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到函數(shù)y=sin(2x+

π

4

)的圖象．
其中正確命題的序號是

 

．（把正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：由奇函數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可判斷①的正誤；根據(jù)第一象限的角，不一定在同一單調(diào)區(qū)間上，無法比較大小，可以得到②的真假；根據(jù)函數(shù)零點的求法，我們將問題轉(zhuǎn)化為兩個基本函數(shù)圖象交點個數(shù)判斷后，可以得到③的真假；根據(jù)圖象平移變換的法則，我們可以判斷④的真假，進而得到答案．

解答：解：函數(shù)f（x）=lg(sinx+

1+sin2x

)的定義域為R，
且f（-x）+f（x）=lg(sin(-x)+

1+sin2(-x)

)+lg(sinx+

1+sin2x

)=lg1=0，
即f（-x）=-f（x）
∴①y=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函數(shù)正確；
若α，β是第一象限角，且α＞β，但α，β不一定在同一單調(diào)區(qū)間上，則cosα＜cosβ不一定成立，故②錯誤；
在同一平面坐標系中畫出y=2^x與函數(shù)y=x²的圖象，易得兩函數(shù)的圖象共有3個交點，故③函數(shù)f（x）=2^x-x²在R上有3個零點正確；
函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到函數(shù)y=sin[2(x+

π

4

)]=sin(2x+

π

2

)的圖象，故④錯誤．
故答案為：①③

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)零點個數(shù)的判斷，函數(shù)的平移變換及函數(shù)單調(diào)性的應用，是對函數(shù)性質(zhì)及圖象的綜合考查，難度適中，其中②中易忽略α，β不一定在同一單調(diào)區(qū)間上，而根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，而錯判斷為正確．